Definiţie. Funcţia
\(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=ax^{2}+bx+c,\; a,b,c\in\mathbf{R},\; a\neq0\)
se numeşte funcţia de gradul II.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul II este o parabolă.
Dacă a>0 funcţia are un minim, vârful parabolei, V, de coordonate:
\(V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac.\)
Dacă a<0 funcţia are um maxim, vârful parabolei, V, de coordonate:
\(V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac.\)
Problema Se consideră funcţia
\(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=mx^{2}-8x-3, m\in \mathbf{R}^{*}.\)
Să se determine valorile lui m ştiind că valoarea maximă a funcţiei f este egală cu 5.
R. Dacă funcţia are valoare maximă atunci \(m<0\) şi valoarea maximă ƒ; este \(y_{max}=-\frac{\Delta}{4a}\Rightarrow-\frac{(-8)^{2}-4\cdot m\cdot(-3)}{4m}=5\Rightarrow-\frac{64+12m^{(4}}{4m}=5\Rightarrow\)
\(\Rightarrow-\frac{16+3m}{m}=5\Rightarrow16+3m=-5m\Rightarrow8m=-16\Rightarrow m=-2.\)
Intersecţia cu axele de coordonate:
∩Ox: -dacă Δ≥0, \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\;x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
∩Oy: x=0, y=b.
Problema Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f:R→R, f(x)= -x²+2x+8 cu axa Ox.
R. Punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele de coordonate sunt x₁, x₂, iar distanţa dintre punctele de intersecţie este |x₂-x₁|.
Soluţiile ecuaţiei f(x)=0 => \(-x^{2}+2x+8=0\)
\(\Delta=2^{2}-4\cdot(-1)\cdot8=4+32=36,\; x_{1}=\frac{-2-6}{-2}=4,\; x_{2}=\frac{-2+6}{-2}=2.\)
\(\left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|2-(-4)\right|=|6|=6.\)
Semnul funcţiei de gradul II (tabelul de semn):
\(\begin{matrix} x & -8\:\:\:\: & & x1 & & x2 & & \:\:\:\:+8& \\ f(x) & semn\: a & & 0 & semn\; opus\: a & 0 & & semn\; a& \end{matrix}\)
Inecuaţia de gradul II Se numeşte inecuaţie de gradul II o inecuaţie de forma ax²+bx+c≥0 (≤,0;,>0;,<0).
Rezolvarea inecuaţiei:
1. se rezolvă ecuaţia ataşată, ax²+bx+c=0;
2. se face tabelul de semn;
3. se ia soluţia din tabelul de semn.
Problema Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia x²-5x+5≤1.
R. Transformăm inecuaţia: x²-5x+5-1≤0=>x²-5x+4≤0 şi rezolvăm ecuaţie x²-5x+4=0
\(\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9,\; x_{1}=\frac{5-3}{2}=1,\; x_{2}=\frac{5+3}{2}=4\)
Tabelul de semn:
\(\begin{matrix} x & -8\:\:\:\: & & 1 & & 4 & & \:\:\:\:+8& \\ f(x) & +++++++ & & 0 & -------- & 0 & & ++++++ \end{matrix}\)
Soluţia este S=[1;4]∩Z={1,2,3,4}.
Relaţiile lui Viéte
Dacă x₁, x₂ sunt soluţiile ecuaţiei ax²+bx+c=0, atunci
\(\begin{cases}
S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a;}\\
P=x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=S^{2}-2P\\
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{S}{P}
\end{cases}
\)
Problema Să se determine m∈R, ştiind că soluţiile x₁, x₂ ale ecuaţiei x²-(2m+1)x+3m =0 verifică relaţia x₁+x₂+x₁·x₂=11.
R. Din relaţiile lui Viéte avem
\(\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=2m+1\\
x_{1}\cdot x_{2}=3m
\end{cases}\Rightarrow2m+1+3m=11\Rightarrow5m=10\Rightarrow m=2.
\)