Funcția de gradul II

  
Se rezolvă exercițiul și apoi se alege răspunsul corect.
Ai la dispoziție 15 minute pentru rezolvare!
Pentru fiecare încercare greșită ești penalizat.

Functia de gradul II

Definiţie. Funcţia
\(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=ax^{2}+bx+c,\; a,b,c\in\mathbf{R},\; a\neq0\)
se numeşte funcţia de gradul II.
Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul II este o parabolă.
Dacă a>0 funcţia are un minim, vârful parabolei, V, de coordonate:
\(V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac.\)
Dacă a<0 funcţia are um maxim, vârful parabolei, V, de coordonate:
\(V\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right),\;\Delta=b^{2}-4ac.\)
Problema Se consideră funcţia
\(f:\mathbf{R\rightarrow R},\; f(x)=mx^{2}-8x-3, m\in \mathbf{R}^{*}.\)
Să se determine valorile lui m ştiind că valoarea maximă a funcţiei f este egală cu 5.
R. Dacă funcţia are valoare maximă atunci \(m<0\) şi valoarea maximă ƒ; este \(y_{max}=-\frac{\Delta}{4a}\Rightarrow-\frac{(-8)^{2}-4\cdot m\cdot(-3)}{4m}=5\Rightarrow-\frac{64+12m^{(4}}{4m}=5\Rightarrow\)
\(\Rightarrow-\frac{16+3m}{m}=5\Rightarrow16+3m=-5m\Rightarrow8m=-16\Rightarrow m=-2.\)
Intersecţia cu axele de coordonate:
Ox: -dacă Δ≥0, \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\;x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Oy: x=0, y=b.
Problema Să se calculeze distanţa dintre punctele de intersecţie ale graficului funcţiei f:R→R, f(x)= -x2+2x+8 cu axa Ox.
R. Punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele de coordonate sunt x1, x2, iar distanţa dintre punctele de intersecţie este |x2-x1|.
Soluţiile ecuaţiei f(x)=0 => \(-x^{2}+2x+8=0\)
\(\Delta=2^{2}-4\cdot(-1)\cdot8=4+32=36,\; x_{1}=\frac{-2-6}{-2}=4,\; x_{2}=\frac{-2+6}{-2}=2.\)
\(\left|x_{2}-x_{1}\right|=\left|2-(-4)\right|=|6|=6.\)
Semnul funcţiei de gradul II (tabelul de semn):
\(\begin{matrix} x & -8\:\:\:\: & & x1 & & x2 & & \:\:\:\:+8& \\ f(x) & semn\: a & & 0 & semn\; opus\: a & 0 & & semn\; a& \end{matrix}\)
Inecuaţia de gradul II Se numeşte inecuaţie de gradul II o inecuaţie de forma ax2+bx+c≥0 (≤,0;,>0;,<0).
Rezolvarea inecuaţiei:
1. se rezolvă ecuaţia ataşată, ax2+bx+c=0;
2. se face tabelul de semn;
3. se ia soluţia din tabelul de semn.
Problema Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi inecuaţia x2-5x+5≤1.
R. Transformăm inecuaţia: x2-5x+5-1≤0=>x2-5x+4≤0 şi rezolvăm ecuaţie x2-5x+4=0
\(\Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4=25-16=9,\; x_{1}=\frac{5-3}{2}=1,\; x_{2}=\frac{5+3}{2}=4\)
Tabelul de semn:
\(\begin{matrix} x & -8\:\:\:\: & & 1 & & 4 & & \:\:\:\:+8& \\ f(x) & +++++++ & & 0 & -------- & 0 & & ++++++ \end{matrix}\)
Soluţia este S=[1;4]∩Z={1,2,3,4}.
Relaţiile lui Viéte
Dacă x1, x2 sunt soluţiile ecuaţiei ax2+bx+c=0, atunci
\(\begin{cases}
S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a;}\\
P=x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=S^{2}-2P\\
\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{S}{P}
\end{cases}
\)
Problema Să se determine mR, ştiind că soluţiile x1, x2 ale ecuaţiei x2-(2m+1)x+3m =0 verifică relaţia x1+x2+x1·x2=11.
R. Din relaţiile lui Viéte avem
\(\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=2m+1\\
x_{1}\cdot x_{2}=3m
\end{cases}\Rightarrow2m+1+3m=11\Rightarrow5m=10\Rightarrow m=2.
\)