Inducţia matematică („raţionamentul prin recurenţă” sau „inducţia completă infinită”) este o modalitate de demonstraţie utilizată în matematică pentru a stabili dacă o anumită propoziţie este valabilă pentru un număr nelimitat de cazuri, contorul cazurilor parcurgând toate numerele naturale.
Metoda inducţiei matematice constă în următoarele: O propoziţie oarecare P(n), ce depinde de un număr natural n, este adevarată pentru orice n natural, dacă: P(1) este o propoziţie adevarată; P(n) rămane o propoziţie adevarată, când n se majoreaza cu o unitate, adica P(n+1) este adevarată.
Aşadar, metoda inducţiei presupune două etape: Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevarată; Etapa de demonstrare: se presupune că propoziţia P(k) este adevarată şi se demonstrează justeţea afirmaţiei P(k + 1) (k a fost majorat cu o unitate).
Nota. În unele cazuri metoda inducţiei matematice se utilizează în urmatoarea formă: Fie m un numar natural, m>1 şi P(n) o propoziţie ce depinde de n, n ≥ m. Dacă P(m) este adevarată, P(n) fiind o propoziţie adevarată implică P(n+1) adevarată pentru n ≥ m, atunci P(n) este o propoziţie adevarată pentru orice număr natural n ≥ m.
Exerciţii rezolvate. Să se demonstreze:
1. \(\;\;1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n \in \mathbf N^*\)
2. \(\;\;1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\forall n\in \mathbf N^*\)
3. \(\;\; \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} >\frac{13}{24}, \forall n\in \mathbf N^*,n\geq 2\)
4. \(\;\;n^3+11n\) se divide cu 6, \(\forall n \in \mathbf N\)
Exerciţii propuse. Să se demonstreze următoarele egalităţi: 1. \(1+3+5+...+(2n-1)=n^2,\forall n\in \mathbf N^*\). 2. \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2} \right]^2,\forall n\in \mathbf N^*\). 3. \(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} ,\forall n\in \mathbf N^*\). 4. \(\frac{1}{1\cdot 3} +\frac{1}{3\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 7} +...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1} , \forall n\in \mathbf N^* \).