Interpretarea geometrică a derivatei

Fie \(f:D\rightarrow \mathbb{R} \)o funcţie derivabilă în punctul \(x_{0}\in D\). Panta tangentei la graficul funcţiei f în punctul \((x_{0},f(x_{0}))\) este egală cu \(f'(x_{0}).\)
Observaţie: Ecuaţia tangentei la grafic este\(y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\)
Problema 4.Fie funcţia\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-3x+5\). Să se determine punctul A de pe graficul funcţiei f în care tangenta dusă la parabola f este paralelă cu dreapta de ecuaţie d: 5x+y-5=0. Să se scrie ecuaţia tangentei în punctul A.
Soluţie.

Panta dreptei d: 5x+y-5=0 se obţine din ecuaţia explicită a dreptei d: y=-5x+5, atunci md=-5 care reprezintă valoarea derivatei în punctul A(x0,f(x0)). $$f'(x_{0})=2x_{0}-3\Rightarrow2x_{0}-3=-5\Rightarrow2x_{0}=-2\Rightarrow x_{0}=-1$$ şi f(x0)=f(-1)=(-1)2-3(-1)+5=9
Ecuaţia tangentei este y-9=(-5)(x+1) şi se obţine y=-5x+4.

Problema 5. Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul funcţiei \(f:\left[0,+\infty\right)\rightarrow\mathbf{R,\:}f(x)=\sqrt{x}\) în punctul x0=1.
Soluţie.

Avem \(f(1)=\sqrt{1}=1\) şi $$f'(1)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}^{2}-1}=$$ $$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}.$$ Ecuaţia tangentei este $$y-1=\frac{1}{2}\left(x-1\right)\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left(x+1\right)$$.

Mergi la început           Test de verificare