Subiectul III, ex.2.b.

Se consideră funcţia \(f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty),\;\;f(x)=x+\frac{9}{x}\).
Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei \(g :(0,+\infty)\rightarrow \mathbf R ,g(x)=\frac{2}{f(x)}\),
axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x =1\) și \(x = 9\) are aria egală cu \(2\ln 3\).
Soluţie. \begin{align} &\cssId{Step1}{g(x)=\frac{2}{f(x)}=\frac{2}{x+\frac{9}{x}}=}\\ &\cssId{Step2}{=\frac{2}{\frac{x^2+9}{x}}=\frac{2x}{x^2+9}}\\ &\cssId{Step3}{A=\int_1^9\left|g(x)\right|dx= }\\ &\cssId{Step4}{=\int_1^9\frac{2x}{x^2+9}dx=}\\ &\cssId{Step5}{=\ln(x^2+9)\mid _1^9=\ln(9^2+9)-\ln(1^2+9)=}\\ &\cssId{Step6}{=\ln 90-\ln 10=\ln 9=\ln 3^2=2\ln3.}\\ \end{align}