Subiectul II, ex.2.b.

Se consideră polinomul \(f = X^3 -15X^2 + mX - 80\), unde \(m\) este număr real
Determinaţi numărul real \(m\) pentru care \(x_1(x_1- x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0\),
unde \(x_1, x_2\) şi \(x_3\) sunt rădăcinile polinomului \(f\) .
Soluţie. \begin{align} &\cssId{Step1}{x_1(x_1- x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=x_1^2-x_1x_2+x_2^2-x_2x_3+x_3^2-x_1x_3=}\\ &\cssId{Step2}{=x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(*)}\\ &\cssId{Step3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(**)}\\ &\cssId{Step4}{Din\;relaţiile\; lui\; Viete\;avem:}\\ &\cssId{Step5}{x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=-\frac{-15}{1}=15}\\ &\cssId{Step6}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m}\\ &\cssId{Step7}{x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}=-\frac{-80}{1}=80}\\ &\cssId{Step8}{Din\;(*)\;şi\;(**)\Rightarrow x_1(x_1- x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=15^2-3\cdot m}\\ &\cssId{Step9}{\Rightarrow 225-3m=0}\\ &\cssId{Step10}{\Rightarrow 3m=225\Rightarrow m=75}\\ \end{align}