Subiectul II, ex.1.b.

Se consideră matricea \(A(a,b)=\left(\begin{matrix} a & 2b \\ -b & a \end{matrix} \right) \) unde \(a\) și \(b\) sunt numere reale.
Demonstraţi că \(A(a,b)\cdot A(b,a) = A(-ab,a^2 + b^2 )\), pentru orice numere reale \(a\) și \(b\) .
Soluţie. \begin{align} &\cssId{Step1}{A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix},\;A(b,a)=\begin{pmatrix} b & 2a \\ -a & b \end{pmatrix} }\\ &\cssId{Step2}{A(a,b)\cdot A(b,a)=\begin{pmatrix} ab-2ab & 2a^2+2b^2 \\ -a^2-b^2 & -2ab+ab \end{pmatrix}= }\\ &\cssId{Step3}{=\begin{pmatrix} -ab & 2(a^2+b^2) \\ -(a^2+b^2) & -ab \end{pmatrix} =}\\ &\cssId{Step4}{=A(-ab,a^2+b^2)}\\ \end{align}