Bacalaureat matematică 2020 ştiinţele naturii

Subiectul al III-lea

Rezolvare prof. Virgil-Mihail Zaharia

1. Se consideră funcţia \(f :\mathbf R\rightarrow \mathbf R, f(x) = e^x - x -10\) .
   a. Arătaţi că \(f '(0) = 0\) . Rezolvare
   b. Demonstraţi că oricare două tangente la graficul funcţiei \(f\) sunt concurente. Rezolvare
   c. Demonstraţi că \(e^{x^3}\geq (x+1)\left( x^2-x+1\right)\), pentru orice număr real \(x\) . Rezolvare

2. Se consideră funcţia \(f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty),\;\;f(x)=x+\frac{9}{x}\).
   a. Arătaţi că \(\int_1^3\left( f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4\). Rezolvare
   b. Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei \(g :(0,+\infty)\rightarrow \mathbf R ,g(x)=\frac{2}{f(x)}\),
       axa \(Ox\) și dreptele de ecuații \(x =1\) și \(x = 9\) are aria egală cu \(2\ln 3\). Rezolvare
   c. Determinaţi numărul real \(a\) , ştiind că \(\int_1^{\sqrt{3}}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right)arctg\; x\;dx=\frac{5\pi}{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}\).  Rezolvare

Subiectul I      Subiectul al II-lea