TEST LECŢII
Integrala definită
Definiţie
Fie f:[a,b]→R o funcţie care admite primitive pe [a,b] şi F este o primitivă a funcţiei f, atunci
$$
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\overset{not}{=}F(x)|_{a}^{b}.
$$
Se numeşte formula lui Leibniz-Newton.
Se citeşte "integrala de la \(a\) la \(b\) din \(f(x)\) de \(x\) este \(F(b)\) minus \(F(a)\)". F(x)|ab se citeşte F(x) de la a la b.
Exemplu. O primitivă a funcţiei f:[0,1]→R, f(x)=e3x este
$$
F:[0,1]\rightarrow \mathbf{R}, F(x)=\frac{e^{3x}}{3}
$$
şi astfel
$$
\int_{0}^{1}e^{3x}dx=e^{3x}|_{0}^{1}=\frac{e^{3}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{e^{3}-1}{3}.
$$
Clase de funcţii integrabile
Teorema 1. Orice funcţie monotonă f:[a,b]→R este integrabilă.
Teorema 2. Orice funcţie continuă f:[a,b]→R este integrabilă.
Observaţie Integrala nedefinită a unei funcţii f este o mulţime de funcţii, iar integrala
definită a funcţiei f este un număr real.
Observaţie Dacă o funcţie este integrabilă pe [a,b], atunci numărul ∫abf(x)dx este unic determinat.
Proprietăţile funcţiilor integrabile
Teoremă. Dacă funcţiile f,g:[a,b]→R sunt integrabile pe [a,b], λ∈R, atunci:
♦ f+g este integrabilă pe [a,b] şi
$$
\intop_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\intop_{a}^{b}f(x)dx+\intop_{a}^{b}g(x)dx
$$
♦ λ·f este integrabilă pe [a,b] şi
$$
\intop_{a}^{b}[\lambda\cdot f(x)]dx=\lambda\cdot\intop_{a}^{b}f(x)dx
$$
Teoremă. Dacă funcţia f:[a,b]→R este integrabilă pe intervalele [a,c] şi [c,b], unde c∈(a,b), atunci
f este integrabilă pe [a,b] şi
$$
\intop_{a}^{b}f(x)dx=\intop_{a}^{c}f(x)dx+\intop_{c}^{b}f(x)dx.
$$
Proprietăţi. Dacă pentru f:[a,b]→R avem f(x)≥0, ∀x∈[a,b], atunci
$$
\intop_{a}^{b}f(x)dx\geq 0.
$$
Consecinţă. Dacă funcţiile f,g:[a,b]→R sunt integrabile pe [a,b] şi f(x)≤g(x), ∀x∈[a,b], atunci
$$
\intop_{a}^{b}f(x)dx\leq\intop_{a}^{b}g(x)dx.
$$
Consecinţă. Dacă f:[a,b]→R este integrabilă pe intervalul [a,b] şi m≤f(x)≤M, ∀x∈[a,b], atunci
$$
m(b-a)\leq\intop_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a).
$$
Consecinţă. Dacă f:[a,b]→R este continuă, atunci |f| este integrabilă şi
$$
\left|\intop_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\intop_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx.
$$
Definiţie. Dacă f:[a,b]→R este o funcţie integrabilă, atunci
$$
\intop_{a}^{a}f(x)dx=0,\;\; \intop_{a}^{b}f(x)dx=-\intop_{b}^{a}f(x)dx.
$$
Formula de integrare prin părţi.
Dacă f,g:[a,b]→R sunt derivabile cu derivata continuă, atunci
$$
\intop_{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)|_{a}^{b}-\intop_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)dx.
$$
Prima metodă de schimbare de variabilă.
Fie φ:[a,b]→I, f:I→R (I interval real) cu proprietăţile:
♦ f este derivabilă pe I,
♦ φ este derivabilă cu derivata continuă pe [a,b].
Atunci
$$
\intop_{a}^{b}f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)dx=\intop_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)dt.
$$
Proprietăţi.
♦Dacă funcţia f:[-a,a]→R este o funcţie pară, atunci
$$
\intop_{-a}^{a}f(x)dx=2\cdot\intop_{0}^{a}f(x)dx.
$$
♦Dacă funcţia f:[-a,a]→R este o funcţie impară, atunci
$$
\intop_{-a}^{a}f(x)dx=0.
$$