TEST LECŢII

Funcţia exponenţială

        
       Definiţie. Fie a>0, a≠1. Funcţia 
f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=a^{x}.
se numeşte funcţia exponenţială de bază a. Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei exponenţiale este o curbă exponenţială.
               
                      
Proprietăţi 1) f(0)=a0=1, graficul funcţiei taie axa Oy în punctul (0,1). 2) Funcţia exponenţială este convexă. 3) Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare; dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare. 4) Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1; x<0 atunci f(x)<1; 0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1; x<0 atunci f(x)>1. 5) Funcţia exponenţială este bijectivă.
Problema Să se ordoneze crescător numerele:
3^{2},3^{\sqrt{2}},3^{-2,1},3^{1,4}.
R. Fie funcţia exponenţială
f:\mathbf{R}\rightarrow (0,+\infty), f(x)=3^{x}.
f este funcţie strict crescătoare, are baza 3>1. Funcţie strict crescătoare: x1<x2=>f(x1)<f(x2) Ordonăm crescător exponenţii şi din monotonie obţinem ordonarea puterilor:
-2,1 < 1,4 < \sqrt{2} < 2 \Rightarrow f(2,1) < f(1,4) < f( \sqrt{2}) < f(2) \Rightarrow
\Rightarrow 3^{-2,1} < 3^{1,4} < 3^{ \sqrt{2} } < 3^{2}.

Ecuaţii exponenţiale

Definiţie. O ecuaţie în care necunoscuta este la exponent se numeşte ecuaţie exponenţială. Tipuri de ecuaţii exponenţiale: \;\;I.\;\;a^{f(x)}=b,\;a>0,a\neq 1. Ecuaţia are soluţie dacă b>0. Prin logaritmarea ambilor membrii ai ecuaţiei se obţine:
\log_{a}{a^{f(x)}}=\log_{a}{b}
care este ecuaţie algebrică şi de aici obţinem soluţia. Problema Să se rezolve ecuaţia: 2x=8 R. log22x=log28 =>x=3. \;\;II.\;\;a^{f(x)}=a^{g(x)},\;a>0,a\neq 1. Din injectivitatea funcţiei exponenţiale se obţine ecuaţia echivalentă: f(x)=g(x), ecuaţie algebrică. Problema Să se rezolve ecuaţia:
3^{2x-1}=\sqrt{3^{x}}.
R.
3^{2x-1}=3^{\frac{x}{2}} \Leftrightarrow 2x-1=\frac{x}{2} \Leftrightarrow 4x-2=x \Leftrightarrow 3x=2 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}.
\;\;III.\;\;c_{1}a^{2f(x)}+c_{2}a^{f(x)}+c_{3}=0,\;a>0,a\neq 1. Ecuaţiile de acest tip se rezolvă prin substituţie. Notăm af(x)=y>0 şi se obţine ecuaţia de gradul II c1y2+c2y+c3=0. Problema Să se rezolve ecuaţia
3\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{x}+2=0.
R. Notăm 2x=y şi se obţine ecuaţia de gradul II 3y2-2y+2=0 cu soluţiile
y_{1}=1,\;y_{2}=\frac{2}{3}.
Revenim la substituţie şi se rezolvă ecuaţiile:
2^{x}=1 \Leftrightarrow x_{1}=0
2^{x}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow x_{2}=\log_{2}\frac{2}{3}
S=\big\{0,\log_{2}\frac{2}{3} \big\}.